Ray`s Tech Lab

https://www.acmicpc.net/problem/1715

문제 요약

A장의 카드더미와 B장의 카드더미를 합칠 때는 A+B번의 비교를 한다.

여러 카드더미들이 주어졌을 때, 모든 카드가 합쳐진 더미를 만들 때 비교횟수는 어떤 순서로 카드들을 합쳐나가는지에 따라 달라진다. 이 때 최소 비교횟수는 몇인가?

순서는 임의대로 할 수 있기 때문에 카드가 나열된 순서와는 관계가 없다. 또한 카드더미의 개수가 1개만 주어질 때도 있는데 이 경우 비교횟수는 0이 됨을 알아두자.

1. 일단, 무식하게 풀어본다면?

나올 수 있는 모든 비교횟수합들을 구해서 가장 작은 값을 취하면 된다. n개의 카드더미가 있을 때, 이 중 두 더미를 골라 합치므로 가짓수는 nC2개. 이렇게 두 개를 골라 합치면 하나의 카드더미가 만들어지는 것이므로, 남은 카드더미는 n-1개가 되며 여기서 다시 2개를 골라 합친다. 즉 나올 수 있는 모든 비교횟수합은 nC2 * n-1C2 * n-3C2 * ...번이며 n은 최대 100,000이므로 문제의 제한시간인 2초 내에 통과하는 것은 힘들다. 즉 다른 방법을 모색해볼 것.

2. dp나 그리디를 의심해보자

>> 2-1. 최적부분구조를 가지는가?

Yes. n개의 카드묶음들로부터 나올 수 있는 최소비교횟수는 n개의 카드 중 2개를 골라 얻는 비교횟수와 그로부터 만들어지는 n-1개의 카드묶음들로부터 나오는 최소합 중(즉 nC2개가 있을 것이다) 가장 작은 값이 된다.

ex) 1번 더미와 2번더미를 합치고 남은 n-1개의 카드더미로부터 얻는 최소값2번 더미와 3번더미를 합치고 남은 n-1개의 카드더미로부터 얻는 최소값이런 것들 중 가장 작은 값이 문제가 요구하는 답이 됨

>> 2-2. 중복되는 구조가 있는가?

Sometimes Yes. k개 만큼의 카드더미가 있다고 할 때, 각각의 카드더미들의 구성이 같다면 중복된다고 판단가능. 그러나 이렇게 중복되는 상황이 항상 나올 것이라고 보장할 수 없다. 가끔 중복되는 정도라고 생각된다.

즉 DP로 접근하는 것은 그닥 효율적으로 보이진 않는다.

>> 2-3. 합법적으로 시작하는 그리디 의심. 탐욕적 선택 속성이 있는가?

사실 이 문제는 그리디 티를 팍팍 내는 문제라고 생각되며, 직관적으로 가장 작은 카드더미들부터 합치는 것이 좋을 것이라는 냄새도 솔솔 풍기는 문제지 않나 싶다. 문제에서 보여주는 예시부터 가장 작은 애들부터 합치니까. 실제로 이 문제는 가장 작은 카드더미부터 합쳐나가야 정답을 얻는다. 그러나 실전도 아니고 이렇게 연습 삼아 푸는 문제들에선 엄밀하게 그리디임을 검증하고 넘어가는 것이 좋을 것이다.그럼, 왜 그리디라고 생각했을까?

근거1. 탐욕적 선택 속성이 있다 즉 어떤 페이즈에서 내린 선택이 그 다음 페이즈의 선택에 영향을 주지 않는다.

내가 이번 페이즈의 선택에서 가장 작은 걸 취했다고 해서 다음 선택에서 가장 작은 걸 취할 수 없는 그런 상황은 없다. 늘 가장 작은 걸 취할 수 있다. 그리디 속성이 있다면 이렇게 내가 현재 내리는 선택이 이후의 선택에 영향을 주지 않는다. 살짝 헷갈렸던 것은, 내가 지금 선택하는 카드더미에 따라 다음 페이즈에 선택하는 카드더미의 구성이 달라지므로 "이 상황은 내가 지금 내리는 선택이 뒤에 영향을 주는 상황이 아닌가?"했지만, 정확히는 뒤에 내리는 선택에 영향을 주지 않는다가 맞지 않나 싶다. 이 문제를 통해 배웠음. 예를 들어 1309번 동물원 문제의 경우, 내가 왼쪽에 있는 칸에 사자를 배치하기로 했으면 다음 줄의 왼쪽 칸에는 사자를 배치할 수 없다는 식으로 내가 현재 내린 선택이 뒤의 선택에 영향을 주는 부분이 존재했다. 암튼 간에 이 1715번 카드 정렬하기 문제는 내가 현재 페이즈에서 내리는 선택에 다음번 페이즈에서 내리는 선택에 영향을 주지 않으므로 그리디 속성이 있다고 볼 수 있다.

근거2. 그리디는 한 번의 선택들이 그 자체로 부분문제가 된다.

스터디에서 배운 그리디의 특성이다. 제일 작은 것 2개를 고른다고 할 때, 내가 고른 두 개의 카드더미들로 인해 하나의 카드더미가 새로 만들어지고, 그 n-1개의 카드더미들로부터 또 2개를 고른다는 부분문제가 된다. 즉 한 번의 선택들이 그 자체로 부분문제가 되는 속성 역시 찾아볼 수 있었다.

3. 그렇다면, 그리디의 정당성 검증은?

지금 나는 처음에 가장 작은 카드더미들을 고른 경우를 포함하는 최적해가 있다고 생각하고 있으며, 이를 검증해야 한다. 귀류법을 통해 수학적?으로 검증해보자.

n장의 카드묶음이 있을 때, 매 선택마다 임의의 카드묶음 2개를 골라 합쳐나갔을 때 나오는 각각의 비교횟수들이 있을 것이고 총 n-1번의 비교를 한다. 이 때 가장 작은 카드묶음 2개를 골라나갈 때 나오는 비교횟수들의 집합을

G = {g1, g2, g3, ..., g(n-1)}

이라 하고, 이 문제의 최적해의 비교횟수 집합을

O = {o1, o2, o3, ..., o(n-1)}

이라 해보자. 이 때 G가 이 문제의 최적해가 아니라면 sum(G) > sum(O)가 되야 한다. 그러나 실제로는 G가 가장 작은 카드묶음이므로 sum(G) < sum(O)가 되니 가정에 모순이다. 따라서 G는 이 문제의 최적해이다.

4. 끝나지 않은 문제

작은 애들부터 골라야 한다는 것을 증명했으니, 이젠 코드만 세우면 된다. 그러나 문제가 있다. 우선 오름차순으로 카드를 정렬하고 거기서 카드더미를 2개씩 골라 합쳐나갈 텐데, 이렇게 합쳐지는 카드를 그대로 두면 전체 카드더미가 오름차순 유지가 되지 않는다. 따라서 매번 고를때마다 다시 정렬을 해주거나 적절한 위치에 새로 만들어진 카드더미를 삽입해야 한다. 그러나 정렬의 시간복잡도는 O(nlogn)이고 삽입(리스트의 insert메소드)의 시간복잡도는 O(n)이므로, 정렬이 아니라 계속 합칠 때마다 적절한 위치에 삽입을 해준다고 해도 러프하게 생각하면 최악의 경우 O(n^2)만큼의 연산을 해야 하게 되며 n은 최대 100,000이므로 이 경우 시간초과가 날 것이다). 어떻게 해야 하는가..

5. 해결책은 heapq : 우선순위 큐

일반적인 큐는 FIFO를 만족하지만, 우선순위 큐는 그와 달리 데큐를 할 때 우선순위가 높은 애들이 먼저 나온다. 즉 이 문제에선 가장 작은 카드더미들에게 높은 우선순위가 있다고 하여 우선순위 큐를 쓸 수 있다. 파이썬에서 heapq의 pop의 시간복잡도는 O(1), push의 시간복잡도는 O(logn)으로 전체 시간복잡도는 최대 O(nlogn)정도가 되고 100,000이어도 160만번 정도의 연산만 하면 되므로 시간 내에 통과가 가능해진다. 따라서, 드디어 코드는 다음과 같다.

import heapq

N = int(input())

data = []

for _ in range(N):
    heapq.heappush(data, int(input()))

answer = 0

while len(data) != 1:
    min1 = heapq.heappop(data)
    min2 = heapq.heappop(data)
    heapq.heappush(data, min1 + min2)
    answer += (min1 + min2)

print(answer)

그리디 검증 관련 참고

1. http://v2everything.blogspot.com/2015/09/greedy-algorithm.html

2. https://gazelle-and-cs.tistory.com/59